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bnm001 發表於 2009-3-18 00:29

回歸與相關分析

一、直線回歸分析
  直線回歸是用直線回歸方程表示兩個數量變量間依存關係的統計分析方法,屬雙變量分析的範疇。
  
  1. 直線回歸方程的求法
  
  (1)回歸方程的概念:
  
  直線回歸方程的一般形式是Ý(音y hat)=a bx,其中x為自變量,一般為資料中能精確測定和控製的量,Y為應變量,指在x規定範圍內隨機變化的量。a為截距,是回歸直線與縱軸的交點,b為斜率,意為x每改變一個單位時,Ý的變化量。
  
  (2)直線回歸方程的求法
  
   確定直線回歸方程利用的是最小二乘法原理,基本步驟為:
  
  1)先求 b,基本公式為b=lxy/lxx=SSxy/SSxx ,其中lxy為X,Y的離均差積和,lxx為X的離均差平方和;
  
  2)再求a,根據回歸方程 a等於Y的均值減去x均值與b乘積的差值。
  
  (3)回歸方程的圖示:
  
   根據回歸方程,在坐標軸上任意取相距較遠的兩點,連接上述兩點就可得到回歸方程的圖示。應注意的是,連出的回歸直線不應超過x的實測值範圍.
  
  2. 回歸關係的檢驗
  
   回歸關係的檢驗又稱回歸方程的檢驗,其目的是檢驗求得的回歸方程在總體中是否成立,即是否樣本代表的總體也有直線回歸關係。方法有以下兩種:
  
  (1)方差分析
  
   其基本思想是將總變異分解為SS回歸和SS剩餘,然後利用F檢驗來判斷回歸方程是否成立。
  
  (2)t檢驗
  
   其基本思想是利用樣本回歸係數b與總體均數回歸係數ß進行比較來判斷回歸方程是否成立,實際應用中因為回歸係數b的檢驗過程較為複雜,而相關係數r的檢驗過程簡單並與之等價,故一般用相關係數r的檢驗來代替回歸係數b的檢驗。
  
  3. 直線回歸方程的應用
  
  (1)描述兩變量之間的依存關係;
  
   利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數量關係
  
  (2)利用回歸方程進行預測;
  
  把預報因子(即自變量x)代入回歸方程對預報量(即因變量Y)進行估計,即可得到個體Y值的容許區間。
  
  (3)利用回歸方程進行統計控製
  
   規定Y值的變化,通過控製x的範圍來實現統計控製的目標。如已經得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程,即可通過控製汽車流量來控製空氣中NO2的濃度。
  
  4. 應用直線回歸的注意事項
  
  (1)做回歸分析要有實際意義;
  
  (2)回歸分析前,最好先作出散點圖;
  
  (3)回歸直線不要外延。
  
  二、直線相關分析
  
  1. 直線相關的概念
  
  直線相關分析是描述兩變量間是否有直線關係以及直線關係的方向和密切程度的分析方法。用以描述兩變量間相關關係的指標是相關係數(常用r表示),兩變量間相關關係的種類有正相關(0<r<1)、負相關(-1<r<0)、零相關(r=0)、完全相關(|r|=1)等。相關分析對資料的要求是兩變量(x,y)均是符合正態分布的隨機變量。
  
  2. 相關係數的計算
  
  相關係數是x,Y的離均差積和lxy除以X的離均差平方和lxx與Y的離均差平方和lyy之積的算術平方根的商。故此相關係數又被稱為積差相關係數。
  
  3.相關係數的假設檢驗
  
  相關係數檢驗的目的是判斷兩變量的總體是否有相關關係,方法有t檢驗和查表法,t檢驗法是樣本與總體的比較,查表法是直接查相關係數界值表得到相應的概率p。
  
  三、直線相關與回歸的區別與聯係
  
  區別:1. 相關說明相關關係,回歸說明依存關係;
  
   2. r與b有區別;
  
   3. 資料要求不同。
  
  聯係:1. r與b值可相互換算;
  
   2. r與b正負號一致;
  
   3. r與b的假設檢驗等價;
  
   4. 回歸可解釋相關。相關係數的平方r2(又稱決定係數)是回歸平方和與總的離均差平方和之比,故回歸平方和是引入相關變量後總平方和減少的部分。
  
  四、等級相關分析
  
  等級相關分析適用於資料不是正態雙變量或總體分布未知,數據一端或兩端有不確定值的資料或等級資料。常用的Spearman等級相關係數rs是利用x,Y的秩次來進行直線相關分析的。因此當x,Y的相同秩次較多時,計算出的rs需矯正。同樣的,等級相關係數rs也需要進行假設檢驗。
  
  五、相關分析應用中的注意事項
  
  1. 相關分析要有實際意義;
  
  2. 相關關係不一定都是“因果”關係;
  
  3. 相關係數r假設檢驗中p的大小不能說明相關的密切程度;
  
  4. 直線相關和等級相關有各自不同的適用條件。

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